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天文數學─簡易之地球公轉計算

王穎聰 2006.01.04

從國小、國中的地球科學學習中,有很多天文的數據是我們已經背頌常記於腦中的,然而從過去學習至今,大多數的人還是不了解這些數據是如何測得。這些天文的數據,有些是需經年累月長期觀察記錄而得,有些則是要透過數據推導得出。例如刻卜勒能夠推演出行星運動三大定律,靠的是其師父第谷對行星運動做長時間觀察與紀錄。

地球的公轉週期,中國老祖先很早就已經知道的很精確,因此訂出一年為 365 天,每四年要潤一次,每百年要停潤一次,每四百年要再潤 … ,到現在我們能知道地球公轉的準確數據為 365.2422 天,但是這個數據是如何測得?地球懸浮在宇宙之中,繞著太陽旋轉,且宇宙間的星球都會移動,究竟該如何測量?這是個挺困難的問題,不能像在操場賽跑般,先訂定一個起跑點,循著跑道一直向前跑,直到跑回至原來的起跑點,即為繞場一圈。

所以,訂定一個起點、待繞回至起點計算為一圈的方法是不太可行,因此得用其他的方式來做推導,首先我們先看地球繞日的運行圖:

當地球在宇宙中的甲地時,太陽正好在觀察者的正頭頂 ( 正中天的位置 ) ,待地球自轉一周多,且公轉了一段距離,下一次太陽又在觀察者的正頭頂時,地球已在宇宙中的丙地,這就是我們地球的一天, 24 小時,這樣太陽兩次於觀察者的正中天位置,時間上我們稱為「太陽日」。

由於恆星和地球的距離實在太遙遠,遠遠大於太陽和地球的距離,因此可當該恆星是靜止的,而且在圖中甲乙丙三地觀察者觀看該恆星的視線也可視為平行。地球在甲地時,某一顆特定的恆星也在正頭頂,下一次該恆星又出現在正頭頂時,是地球走到了乙地,地球整整自轉一周,此時間上我們稱為「恆星日」,地球的恆星日為 23 小時 56 分 4 秒。

地球的恆星日與太陽日的時間,可經長期觀察紀錄即可得出極為精確的值。地球的恆星日比太陽日還短,是因為地球的自轉和公轉是相同方向。

一般稱其它行星的自轉週期,多是以該行星的恆星日為主,地球卻是習慣稱一天為 24 小時的太陽日,這是比較特殊的地方。

從圖上看來,由於地球於甲地、丙地觀察遙遠恆星的視線為平行,因此:

角 A = 角 B ( 目前 A 、 B 為未知數 ) ------------ 式 1

我們先從地球的公轉來看,先設定地球公轉周期為 X ,公轉一圈是繞了 360 度,因此過了一個太陽日、繞日轉了 A 度,可得以下公式:

A = 太陽日 -------------------- 式 2


360 X

再從地球的自轉來看,地球自轉一圈 360 度是一個恆星日。地球自乙地到丙地,轉動了 B 度,所花時間為 ( 太陽日 – 恆星日 ) ,因此可得公式:

B = 太陽日 - 恆星日 -------------------- 式 3


360 恆星日

因此根據式 1 ,可將式 2 與式 3 合併成:

太陽日 = 太陽日 - 恆星日  


X 恆星日

將式子再整理一下即可得公轉週期:

公轉 = X = 太陽日 * 恆星日  

太陽日 - 恆星日

所以我們可以來驗證一下地球的公轉,太陽日是 24 小時,相當於 86400 秒;恆星日是 23 小時 56 分 4 秒,相當於 86164 秒;帶入上式:

地球公轉週期 = X = 86400 * 86164  

 
86400 - 86164  
  = 365.1016949... 天

算出來與目前知道的公轉週期 365.2422 天有些微差距,是因為實際上地球的公轉軌道是有些橢圓,並不是正圓形的。其實所有的行星繞太陽、衛星繞行星軌道,都是橢圓形的,偏心率不一樣而已,要達成圓形軌道是非常困難的。此簡易導出的公式已能十分接近正確值,可以將各行星的公轉、太陽日、恆星日代入式子試試,都還蠻接近的。

  公轉 自轉 ( 恆星日 ) 太陽日 公轉與
自轉方向
水星 88 天 58.65 天 176 天 同向
金星 224 天 243 天 117 天 反向
地球 365.2422 天 23 小時 56 分 4 秒 1 天 同向
火星 687 天 24 小時 37 分 - 同向
木星 11.9 年 9 小時 56 分 - 同向
土星 29.5 年 10 小時 14 分 - 同向
天王星 84 年 17 小時 14 分 不固定 呈九十度
海王星 165 年 16 小時 7 分 - 同向
冥王星 248 年 16 天 10 小時 - 同向

其中因為天王星的自轉軸與公轉面成平行,無法用此公式計算。

另外金星也較特殊,因為其公轉與自轉方向相反,圖形如下所示,因此公式不太一樣,但是一樣可以用相同的方式推導 ( 但是請注意,角 A 與角 B 標示的位置與公轉自轉同向標示的位置不太一樣 ) :

對於角 A ,考慮金星公轉 X ,得出公式為:

A = 太陽日 -------------------- 式 4


360 X

再從金星的自轉來看,金星自轉一圈 360 度是一個恆星日,則金星自乙地到丙地,從太陽在正頭頂,到遙遠特定的恆星在正頭頂,共轉動了 B 度,所花時間為 ( 恆星日 – 太陽日 ) ,因此可得公式:

B = 恆星日 - 太陽日 -------------------- 式 5


360 恆星日

因此根據式 1 ,可將式 4 與式 5 合併成:

太陽日 = 恆星日 - 太陽日  


X 恆星日

將式子再整理一下即可得金星公轉週期:

金星公轉 = X = 恆星日 * 太陽日  

恆星日 - 太陽日

所以我們可以也來驗證一下金星的公轉。太陽日是 117 天,恆星日是 243 天,直接將天數帶入上式:

金星公轉週期 = X = 243 * 117  

 
243 - 117  
  = 225.64285714... 天

此數據也和公轉的 224 天非常接近,誤差也是因為金星也一樣是橢圓形軌道,我們都是簡單的用正圓來計算。

公式得出來了,式子代表的就是太陽日、恆星日、與公轉間的相對關係,因此只要知道其中兩個數據,就能求得第三個值。有興趣各位也可以帶入數據試試看喔。